🧮Mathématiques

Nombres réels

Tout ce qu'il faut maîtriser sur \(\mathbb{R}\) en MPSI : axiome de la borne supérieure, caractérisation \(\varepsilon\), propriété d'Archimède, partie entière, densité de \(\mathbb{Q}\) et de \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\), inégalités triangulaires — avec les 5 démonstrations à savoir refaire.

Suites numériques

Tous les théorèmes incontournables sur les suites numériques en MPSI : convergence, opérations sur les limites, gendarmes, limite monotone, Bolzano-Weierstrass et suites adjacentes — avec les démonstrations qu'il faut absolument savoir refaire.

Généralités sur les fonctions

La fiche socle pour manipuler proprement les fonctions en MPSI : domaine de définition, image directe et réciproque, parité, périodicité, monotonie, extrémums, composition et théorème de la bijection. Toutes les définitions formelles, les pièges récurrents en copie et la méthode-type pour prouver la bijectivité.

Limites et continuité

Limites en un point ou à l'infini, opérations, caractérisation séquentielle, continuité, prolongement, TVI, bornes atteintes sur un segment et théorème de Heine. 7 définitions, 12 théorèmes et 4 démonstrations à savoir refaire, avec pièges concours sourcés des rapports de jury.

Fonctions dérivables

Tout le cours MPSI sur la dérivabilité : nombre dérivé, chain rule, théorème de Rolle, TAF, inégalité des accroissements finis, monotonie via la dérivée, classes Cⁿ, formule de Leibniz, extrema locaux. 4 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges de copie décortiqués.

Logarithmes, exponentielles et puissances

Logarithme népérien, exponentielle, puissances réelles et croissances comparées en MPSI : définitions, propriété fonctionnelle, dérivées, 7 limites usuelles, équations log/exp et pièges de copie.

Fonctions circulaires et hyperboliques

Fonctions trigonométriques et hyperboliques en MPSI : définitions, formulaire complet (addition, duplication, linéarisation), réciproques arcsin/arccos/arctan et argsh/argch/argth avec leurs domaines, dérivées, identités hyperboliques et 5 démonstrations à savoir refaire.

Intégrales définies

Tous les théorèmes incontournables sur l'intégrale d'une fonction continue par morceaux en MPSI : propriétés, théorème de la moyenne, inégalité de Cauchy-Schwarz et sommes de Riemann, avec 4 démos à savoir refaire.

Calcul des primitives

Toutes les méthodes de calcul de primitives en MPSI : table usuelle, théorème fondamental de l'analyse, IPP, changement de variable, fractions rationnelles, règles de Bioche, polynôme × exp/cos/sin. 3 démos à savoir refaire.

Comparaisons locales

Tout sur les relations de comparaison locales en MPSI : grand O, petit o, équivalence ~, les 8 équivalents usuels en 0, croissances comparées et les pièges à éviter (somme et composition).

Formules de Taylor

La fiche complète des formules de Taylor en MPSI : TRI démontrée par IPP itérée, Taylor-Lagrange, Taylor-Young, les 9 DL usuels à connaître par cœur, opérations sur les DL (somme, produit, composition, intégration) et applications (limites, équivalents, position courbe/tangente, extrema). 4 démonstrations à savoir refaire, 5 pièges classiques de correcteur.

Équations différentielles linéaires

Toute l'équa diff MPSI dans une fiche : ordre 1 (Cauchy, homogène, variation de la constante), ordre 2 à coefficients constants (équation caractéristique, 3 cas du discriminant Δ), principe de superposition, recherche de solution particulière pour second membre exponentiel-polynomial. 6 définitions, 7 théorèmes, 4 démonstrations à savoir refaire.

Séries numériques

Définitions, séries de référence (géométrique, harmonique, Riemann), critères de comparaison, comparaison série-intégrale, convergence absolue, critère de Leibniz et produit de Cauchy — avec 4 démonstrations à savoir refaire.

Rudiments de logique

La logique, grammaire silencieuse de toute la MPSI : connecteurs, tables de vérité, lois de De Morgan, négation des phrases quantifiées et les six grands schémas de raisonnement (direct, contraposée, absurde, analyse-synthèse, disjonction des cas, récurrence). 6 démonstrations à savoir refaire.

Ensembles

Le langage ensembliste fondateur de toute la MPSI : appartenance, inclusion, opérations (∩, ∪, \, Δ, ∁), lois de De Morgan, ensemble des parties 𝒫(E), produit cartésien et partitions. La méthode-reine du chapitre : la double inclusion, à automatiser dès septembre pour gagner 2-3 points par DS toute l'année.

Applications

Tout le chapitre Applications du programme MPSI : définitions formelles (départ, arrivée, image directe f(A), image réciproque f⁻¹(B), Id_E, restriction, prolongement), composition et ses propriétés, injection / surjection / bijection avec démonstrations ★ de la composition d'injections, des réciproques partielles, de l'unicité de la réciproque d'une bijection et de sa caractérisation, plus le théorème de la bijection sur ℝ.

Relations

Relations binaires en MPSI : propriétés (réflexive, symétrique, antisymétrique, transitive), relations d'équivalence et classes-partition, relations d'ordre (total, partiel), maximum vs élément maximal, majorant et borne supérieure. 15 définitions, 3 théorèmes, 3 démonstrations à savoir refaire.

Calculs algébriques

Toute la boîte à outils calcul algébrique MPSI : sommes Σ et produits Π, télescopage, sommes classiques (k, k², k³, qᵏ), coefficients binomiaux, formule de Pascal, binôme de Newton, factorisation aⁿ−bⁿ, inégalités Cauchy-Schwarz et AM-GM. 5 définitions, 8 théorèmes, 4 démonstrations à savoir refaire.

Nombres complexes

Tout ce qu'il faut maîtriser sur ℂ en MPSI : conjugué, module, argument, forme exponentielle, formules d'Euler et de Moivre, racines n-ièmes et interprétation géométrique — avec les 4 démonstrations à savoir refaire.

Arithmétique dans ℤ

Tous les théorèmes d'arithmétique dans ℤ pour la MPSI : algorithme d'Euclide, Bachet-Bézout, Gauss, nombres premiers, congruences et petit théorème de Fermat — avec les 4 démonstrations à savoir refaire.

Structure de groupe

Tout le chapitre groupes MPSI : LCI, associativité, neutre et symétrique uniques, axiomes (G,⋆), sous-groupes via la caractérisation x⋆y⁻¹∈H, sous-groupe engendré, groupes monogènes et cycliques, ordre, morphismes, noyau et image, isomorphismes.

Structures d'anneau et de corps

Anneaux et corps en MPSI : axiomes (A,+,×), règles de calcul, diviseurs de zéro, anneau intègre, sous-anneau, idéal, corps Q/R/C/Fp, morphismes — avec démos à savoir refaire.

Polynômes

Tout le chapitre Polynômes MPSI : structure de 𝕂[X], division euclidienne, polynôme dérivé et formule de Taylor, racines et ordre de multiplicité, théorème de d'Alembert-Gauss, factorisation dans ℂ[X] et ℝ[X], relations coefficients-racines, interpolation de Lagrange.

Arithmétique dans 𝕂[X]

L'arithmétique de ℤ transposée aux polynômes : division euclidienne, PGCD, algorithme d'Euclide, Bachet-Bézout, théorème de Gauss, polynômes irréductibles, décomposition unique en facteurs irréductibles dans ℝ[X] et ℂ[X], relations coefficients-racines de Viète et fonctions symétriques élémentaires σ_k.

Fractions rationnelles

Fiche de révision Majorant MPSI sur les fractions rationnelles : corps 𝕂(X), pôles et ordres, décomposition en éléments simples dans ℂ(X) et ℝ(X), méthode de calcul des coefficients (résidu, parité, limite, identification), primitive d'une fraction rationnelle (ln, arctan), applications au télescopage et aux intégrales.

Structure d'espace vectoriel

La structure de 𝕂-espace vectoriel : axiomes, sous-espaces, somme directe et supplémentaires, combinaisons linéaires, Vect(X), familles libres, génératrices et bases — avec les 4 démonstrations MPSI à savoir refaire.

Espaces vectoriels de dimension finie

Toutes les bases d'un même espace ont le même cardinal : c'est la dimension. Fiche MPSI complète avec théorème de la dimension, base extraite, base incomplète, formule de Grassmann dim(F+G) = dim(F)+dim(G)-dim(F∩G), supplémentaires en dim finie et rang d'une famille. 4 démos à savoir refaire, 5 pièges de copie.

Applications linéaires

Tout sur les applications linéaires en MPSI : définitions (f linéaire, endomorphisme, automorphisme, GL(E)), opérations sur L(E,F), noyau et image comme sev, théorème du rang avec démonstration complète, équivalence injective/surjective/bijective en dimension finie, projecteurs (p∘p=p) et symétries (s∘s=Id). 4 démos étoilées, 5 pièges de copie.

Espaces affines

Espace affine, repère, vecteur AB, sous-espace affine et direction, parallélisme, barycentre et associativité, isobarycentre, applications affines (translations, projections, symétries) — la fiche complète MPSI avec démos détaillées.

Calcul matriciel

Le calcul matriciel est le langage opératoire de l'algèbre linéaire. Cette fiche regroupe les théorèmes incontournables (associativité, non-commutativité, transposée, trace, inverse), les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font basculer un DS — à commencer par la non-commutativité.

Matrices et applications linéaires

Matrice d'une AL, isomorphisme L(E,F) ≃ 𝕄_(n,p)(𝕂), composition et produit matriciel, matrices de passage, formules de changement de base pour vecteur (X=PX') et pour endomorphisme (A'=P⁻¹AP), matrices semblables, rang d'une matrice et invariance par opérations élémentaires.

Systèmes linéaires

Système linéaire AX = B en MPSI : interprétation par l'application linéaire fA, structure « solution particulière + noyau », théorème de Rouché-Fontené, méthode du pivot de Gauss et systèmes de Cramer. 9 définitions, 7 théorèmes, 4 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges classiques de copie.

Déterminants

Déterminants en MPSI : développement de Laplace, propriétés (multilinéarité, alternance, det(AB)=det(A)·det(B)), critère d'inversibilité det(A)≠0, comatrice et formule de l'inverse, méthode-type pivot de Gauss, 4 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges classiques en copie.

Espaces préhilbertiens réels

Tout le chapitre Espaces préhilbertiens réels MPSI condensé : produit scalaire (bilinéaire symétrique défini positif), norme et inégalité de Cauchy-Schwarz, orthogonalité, théorème de Pythagore, familles orthonormées, procédé de Gram-Schmidt, supplémentaire orthogonal et projection.

Isométries vectorielles

Tout pour maîtriser les isométries vectorielles en MPSI : triple équivalence (norme, produit scalaire, base orthonormée), matrices orthogonales O_n(ℝ) et SO_n(ℝ), classification des isométries du plan (rotation, réflexion) et de l'espace ℝ³ (rotation, antirotation), avec 3 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges classiques de copie.

Dénombrement

Tout le dénombrement MPSI condensé : cardinal d'un ensemble fini, formule du crible, p-listes, arrangements A(n,p), combinaisons C(n,k), formule de Pascal, binôme de Newton, applications et injections — avec 4 démonstrations clés à savoir refaire.

Espaces probabilisés finis

Tout le cours MPSI sur les espaces probabilisés finis : univers Ω, événements, axiomes de probabilité, formule du crible, équiprobabilité et application au dénombrement, indépendance — avec 4 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges classiques.

Probabilités conditionnelles

La fiche MPSI Majorant sur les probabilités conditionnelles : définition de P(A|B), formules des probabilités composées, totales et de Bayes, indépendance de deux événements, indépendance mutuelle vs 2 à 2 (contre-exemple de Bernstein), arbres de probabilités et exemples canoniques (test diagnostic médical, tirages sans remise).

Variables aléatoires

Variables aléatoires finies en MPSI : définition (X : Ω → ℝ), loi, fonction de répartition, lois usuelles (certaine, uniforme, Bernoulli, binomiale), couples (loi conjointe et marginales), indépendance, loi de Y=f(X) et de X+Y. 4 démos à savoir refaire.

Espérance et variance

Toutes les propriétés de E(X) et V(X) en MPSI : linéarité de l'espérance, formule de Köenig-Huygens, espérances et variances des lois usuelles (Bernoulli, binomiale, uniforme), inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev, covariance et variance d'une somme. 4 démos à savoir refaire au cordeau.

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