📅 Session 2024

Annales concours CPGE 2024

Tous les sujets de la session 2024 : X-ENS, Mines-Ponts, Centrale-Supélec, CCINP. Filières MP, PC, PSI, MPI. 105 annales avec corrigés rédigés par les mentors Majorant.

105sujets

7concours

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105 annales — session 2024

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Année

Matière

105 sujets

🏆 X / ENS / ESPCI

Annales X / ENS / ESPCI · 28

Polytechnique, ENS Ulm, Lyon, Paris-Saclay et ESPCI — sujets de haut niveau, recul théorique, créativité.

2024MPX / ENSCorrigé

Physique — MP · 2024

Différents aspects du champ électromagnétique : du classique au quantique.

Vecteur de PoyntingQuantité de mouvement EMSolénoïde et induction+8

3 parties · 45 questions4 heures

2024PCX / ENSÉnoncé seul

Chimie A — PC · 2024

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2024PCX / ENSÉnoncé seul

Chimie B — PC · 2024

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2024MPX / ENSÉnoncé seul

Informatique A — MP · 2024

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2024MPX / ENSÉnoncé seul

Informatique B — MP · 2024

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2024MPIX / ENSÉnoncé seul

Informatique B — MPI · 2024

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2024PCX / ENSÉnoncé seul

Informatique B — PC · 2024

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2024PSIX / ENSÉnoncé seul

Informatique B — PSI · 2024

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2024MPIX / ENSÉnoncé seul

Informatique C — MPI · 2024

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2024MPX / ENSÉnoncé seul

Informatique Fondamentale — MP · 2024

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2024PCX / ENS / ESPCIÉnoncé seul

Mathématiques 1 — PC · 2024

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2024PSIX / ENS / ESPCIÉnoncé seul

Mathématiques 1 — PSI · 2024

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🏆 Mines-Ponts

Annales Mines-Ponts · 35

Mines Paris, Ponts ParisTech, ENSTA, Télécom Paris — équilibre entre rigueur et applications.

2024MPMines-PontsCorrigé

Informatique (option) — MP · 2024

Algorithmique des relations d'ordre. Trois sections : (I) propriétés des relations binaires (réflexivité, antisymétrie, transitivité) en paradigme impératif puis fonctionnel, tri topologique en $\mathcal O(n^2)$ par sélection itérée du sommet maximal de degré sortant minimal $\delta_0=1$ ; (II) chaînes et antichaînes — réfutation/correction d'une fonction <code>is_chain</code> bug, structure de tas binaire (heap) maintenant l'invariant d'ordre total interne, ramenant la complexité à $\mathcal O(\gamma\log\gamma)$ ; (III) couverture par chaînes — graphe biparti des poursuites, théorème de Dilworth via couplage maximum, algorithme de Ford-Fulkerson en $\mathcal O(n^3)$ .

Relation d'ordre — réflexivité, antisymétrie, transitivitéParadigme impératif vs fonctionnel en OCamlTri topologique — algorithme par degré sortant minimal+8

3 parties · 25 questions3 heures

2024MPMines-PontsCorrigé

Mathématiques 1 — MP · 2024

« Généralisation d'une intégrale de Dirichlet et application probabiliste ». Quatre parties : (I) calcul de $\int_0^\infty t^{x-1}/(1+t)\,dt=\pi/\sin(\pi x)$ via une fonction analytique $g(\theta)=e^{ix\theta}\int_0^\infty t^{x-1}/(1+te^{i\theta})\,dt$ démontrée constante par dérivation sous l'intégrale (Leibniz) puis évaluation à $\theta\to\pi^-$ par convergence dominée ; (II) développement en série partielle $\pi/\sin(\pi x)=1/x-\sum 2(-1)^n x/(n^2-x^2)$ et identité-clé $\sum 2(-1)^n y\sin y/(y^2-n^2\pi^2)=1-\sin y/y$ ; (III) calcul de $\int_0^\infty(1-\cos^{2p+1}t)/t^2\,dt=\pi(2p+1)!/(2\cdot 4^p(p!)^2)$ par double intégration alternée et formule de Wallis ; (IV) application probabiliste — pour $S_n=\sum X_k$ avec $X_k$ Rademacher i.i.d., $E(|S_{2n}|)=E(|S_{2n-1}|)=(2n-1)!/(2^{2n-2}((n-1)!)^2)$ .

Intégrale paramétrique — théorème de LeibnizThéorème de convergence dominéeFormule des compléments d'Euler — fonction Bêta+8

4 parties · 25 questions3 heures

2024MPMines-PontsCorrigé

Physique 1 — MP · 2024

« Des objets astronomiques, de Mars à Sirius » — deux problèmes indépendants. (I) Mécanique céleste : champ central, lois de Kepler dérivées du vecteur excentricité $\vec e$ de Laplace–Runge–Lenz, équation polaire $r=p/(1+e\cos\theta)$ , période $T=\mathcal I p^{3/2}/\sqrt{\mathcal G m_A}$ , mesure historique de l'unité astronomique par parallaxe de Mars (Cassini, 1672). (II) Énergie des étoiles : énergie gravitationnelle d'une boule homogène $W_g=-3\mathcal G M^2/(5R)$ , équation hydrostatique sphérique, pression cinétique et théorème du viriel ; pression de confinement quantique via Schrödinger 1D et 3D, principe d'Heisenberg ; rayon d'équilibre des naines blanches $R_{eq}\propto M^{-1/3}$ ; argument relativiste de Chandrasekhar (vitesse $v\sim c/2$ , masse limite).

Force centrale et conservation du moment cinétiqueLois de Kepler — vecteur excentricitéConique en coordonnées polaires+10

7 parties · 26 questions3 heures

2024MPMines-PontsCorrigé

Physique 2 — MP · 2024

« Thermodynamique du froid » — deux problèmes indépendants. (I) Refroidissement des supraconducteurs : (I.A) refroidissement transitoire d'une boule plongée dans un bain via convection-conduction ; modèle « capacité + résistance thermique », équation différentielle exponentielle de constante $\tau=\rho R c/(3k)$ , durée $\Delta t=\tau\ln((T_i-T_0)/(T_{sc}-T_0))$ . (I.B) Régime stationnaire d'un fil cylindrique avec source volumique uniforme $p_u$ : profil $T(r)=T_0+p_u R/(2k)+p_u(R^2-r^2)/(4\lambda)$ parabolique, condition de non-quench $p_u<p_{\max}$ . (II) Réfrigérateur à détente : (II.A) statistique de Boltzmann pour gaz parfait monoatomique, fonction de partition $Z(\beta)=QA\beta^{-3/2}$ , $U=\tfrac{3}{2}Nk_BT$ ; (II.B) modèle énergétique de Van der Waals à partir des interactions $\varepsilon_p=-\alpha/r^6$ et du covolume, équation d'état $(P+aN^2/V^2)(V-u)=Nk_BT$ ; (II.C) détente de Joule-Thomson, température d'inversion $T_r=2A/(BR)$ , comparaison N $_2$ ( $T_r\approx 865$ K) et H $_2$ ( $T_r\approx 223$ K) — H $_2$ nécessite un pré-refroidissement (procédé Linde).

Diffusion thermique — équation de FourierModèle capacité + résistance thermiqueRefroidissement exponentiel — constante de temps+9

5 parties · 25 questions4 heures

2024MPMines-PontsCorrigé

SI — MP · 2024

L'inverseur de poussée eTras® de Safran (Airbus A380). Sept sous-parties : (2) modélisation énergétique du freinage avion + schéma d'Euler explicite ; (3) chaîne structurelle et schéma bloc fonctionnel ; (4.1) cinématique d'ouverture de la nacelle — fermeture de chaîne, course $\lambda(\theta_b)$ , régression linéaire scikit-learn, $K_{cc}$ et temps d'ouverture ; (4.2) couple sur le flex-shaft — torseur des actions de l'air, inertie équivalente, théorème de l'énergie cinétique ; (5.1) moteur à courant continu — schéma bloc, asservissement en intensité avec correcteur PI compensant le pôle électrique ; (5.2) flex-shaft modélisé comme un 2 $^{\text{nd}}$ ordre élastique-amorti, erreur de traînage nulle ; (5.3) asservissement en position avec correcteur à avance de phase $\phi_{\max}$ , calage de $a$ et $\tau$ pour respecter marge de phase $\geqslant 45°$ .

PFD avion en freinage — loi de CoulombThéorème de l'énergie cinétiqueMéthode d'Euler explicite+9

7 parties · 33 questions3 heures

2024MPMines-PontsÉnoncé seul

Chimie — MP · 2024

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2024PCMines-PontsÉnoncé seul

Chimie — PC · 2024

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2024PSIMines-PontsÉnoncé seul

Chimie — PSI · 2024

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2024MPMines-PontsÉnoncé seul

Français — MP · 2024

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2024PCMines-PontsÉnoncé seul

Français — PC · 2024

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2024PSIMines-PontsÉnoncé seul

Français — PSI · 2024

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2024MPIMines-PontsÉnoncé seul

Français — MPI · 2024

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🏆 Centrale-Supélec

Annales Centrale-Supélec · 18

CentraleSupélec, Centrale Lyon, Centrale Lille — sujets longs, modélisation transverse.

2024MPCentrale-SupélecCorrigé

Mathématiques 1 — MP · 2024

Inégalités de Carleman, Knopp et Carleman-Yang : trois parties largement indépendantes — (I) analogue intégral via Jensen, IPP et la transformée $h(x)=\frac{1}{x^2}\!\int_0^x t f(t)\,\mathrm dt$ ; (II) preuve par calcul différentiel sur le simplexe avec multiplicateurs de Lagrange et AM-GM ; (III) DSE de $\varphi(t)=(1-t)^{1-1/t}$ , suite récurrente $(b_n)$ et raffinement quantitatif de la constante $\mathrm e$ .

Inégalité de Jensen intégraleSommes de RiemannConvergence dominée+11

3 parties · 29 questions4 heures

2024MPCentrale-SupélecCorrigé

Mathématiques 2 — MP · 2024

Équation aux différences $f(x+1)-f(x)=h(x)$ . Quatre parties : (I) opérateur différence finie $\Delta$ sur $\mathbb K[X]$ — endomorphisme nilpotent, noyau, image, polynôme annulateur ; (II) fonctions entières — DSE de rayon infini, intégrales sur $\mathbb U$ ; (III) polynômes de Bernoulli $B_n$ — définition intégrale, $B'_n=nB_{n-1}$ , unicité, fonction génératrice $\psi(x)\mathrm e^{tx}$ ; (IV) extension au cas entier via la minoration $|\mathrm e^z-1|\ge c$ sur les cercles $|z|=(2n+1)\pi$ .

Opérateur différence finieEndomorphismes nilpotentsPolynôme annulateur+11

4 parties · 29 questions4 heures

2024PCCentrale-SupélecCorrigé

Mathématiques 2 — PC · 2024

Produits infinis. Cinq parties : (I) préliminaires — inégalités multiplicatives, $(1+z/n)^n\to\mathrm e^z$ ; (II) exemples — produits télescopiques, intégrales de Wallis, lemme de Borel-Cantelli ; (III) théorèmes de continuité et $\mathcal C^1$ pour fonctions définies par produit infini ; (IV) factorisation $\sin(x)=x\prod(1-x^2/(n\pi)^2)$ et calcul de $\zeta(2)=\pi^2/6$ ; (V) fonction Γ — formules de Gauss, réflexion $\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\pi/\sin(\pi x)$ , formule de Weierstrass.

Produits infinisInégalités multiplicativesConvergence $(1+z/n)^n\to\mathrm e^z$+11

5 parties · 38 questions4 heures

2024MPICentrale-SupélecÉnoncé seul

Informatique — MPI · 2024

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2024MPCentrale-SupélecÉnoncé seul

Informatique (option) — MP · 2024

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2024PCCentrale-SupélecÉnoncé seul

Mathématiques 1 — PC · 2024

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2024PSICentrale-SupélecÉnoncé seul

Mathématiques 1 — PSI · 2024

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2024PSICentrale-SupélecÉnoncé seul

Mathématiques 2 — PSI · 2024

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2024PCCentrale-SupélecÉnoncé seul

Physique 1 — PC · 2024

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2024PCCentrale-SupélecÉnoncé seul

Physique 2 — PC · 2024

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2024MPICentrale-SupélecÉnoncé seul

Physique-Chimie 1 — MPI · 2024

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2024MPCentrale-SupélecÉnoncé seul

Physique-Chimie 1 — MP · 2024

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🏆 CCINP

Annales CCINP · 19

Concours commun INP — porte d'entrée vers une trentaine d'écoles d'ingénieurs.

2024MPICCINPCorrigé

Informatique — MPI · 2024

Trois parties indépendantes mêlant programmation et algorithmique avancée. (I) Algorithme Single Pass de classification de documents en langage C — k-moyennes, structures dynamiques, distance $L^1$ . (II) Langages réguliers — relation d'équivalence par échange $ab\leftrightarrow ba$ , classes régulières, ordre lexicographique, automate fini. (III) Correspondance de Burge en OCaml fonctionnel pur — Havel-Hakimi, diagrammes et tableaux de Young, insertion de Schensted, bijection entre graphes simples et tableaux de Young semi-standards.

Classification non supervisée — k-moyennes, Single PassProgrammation C — pointeurs, allocation dynamique, listes chaînéesDistance $L^1$+9

3 parties · 35 questions4 heures

2024MPCCINPCorrigé

Informatique (option) — MP · 2024

Trois parties indépendantes en algorithmique et programmation. (I) Coloration de graphes en Python — nombre chromatique, cliques, heuristique de Welsh-Powel implémentée pas à pas, application à la formation de groupes. (II) Satisfiabilité d'une formule propositionnelle en OCaml — type récursif, évaluation, énumération exhaustive des valuations, complexité $O(2^n m)$ , retour sur trace (DPLL) et conséquence logique. (III) Automates et reconnaissance de motifs en OCaml — algorithme naïf, périodes et bords, localisation par automate déterministe.

Graphes — nombre chromatique, cliquesHeuristique de Welsh-PowelReprésentation par dictionnaire d'adjacences+9

3 parties · 36 questions3 heures

2024MPCCINPCorrigé

Mathématiques 1 — MP · 2024

Probabilités, équations différentielles linéaires et calcul de $\zeta(2)$ . Trois blocs indépendants : (Ex. I) espérance d'une v.a. à valeurs dans $\mathbb N$ via $E(X)=\sum_{k\ge 0}P(X>k)$ , application au maximum d'un échantillon ; (Ex. II) EDL d'ordre 2 $x^2y''+4xy'+(2-x^2)y=1$ étudiée par DSE ; (Pb.) calcul de $\sum 1/n^2=\pi^2/6$ par intégrales de Wallis et série de l'arcsinus, puis par l'intégrale à paramètre $f(x)=\int_0^{+\infty}\arctan(xt)/(1+t^2)\,\mathrm dt$ .

V.a. à valeurs dans $\mathbb N$ — espérance par sommation des queuesSommation d'AbelLoi du maximum d'un échantillon uniforme+9

4 parties · 18 questions4 heures

2024MPICCINPCorrigé

Mathématiques 1 — MPI · 2024

V.a. à valeurs dans $\mathbb N$ — espérance par sommation des queuesSommation d'AbelLoi du maximum d'un échantillon uniforme+9

4 parties · 18 questions4 heures

2024PCCCINPCorrigé

Mathématiques 1 — PC · 2024

Trois exercices indépendants. (Ex. 1) Racine cubique d'une matrice — exemple en dimension 2, rotations/réflexions du plan euclidien, et résultat général : toute matrice diagonalisable réelle admet une racine cubique, qui est diagonalisable sur $\mathbb C$ . (Ex. 2) La fonction $\ln\Gamma$ — caractérisation par 4 conditions $(C)$ , construction de $\varphi$ via $\varphi(x)=-\ln x+\sum u_n(x)$ , unicité par périodisation et formule de duplication. (Ex. 3) Temps d'attente avant une collision — paradoxe des anniversaires, $E(T_n)\sim\sqrt{\pi n/2}$ par convergence dominée.

Racine cubique d'une matrice — exemple en dimension 2Rotations et réflexions du plan euclidienDiagonalisation, polynôme annulateur scindé à racines simples+8

3 parties · 39 questions4 heures

2024PSICCINPCorrigé

Mathématiques 1 — PSI · 2024

Deux problèmes et un exercice indépendants. (Pb. 1) File d'attente — temps d'arrivée géométrique, somme de Pascal, puis processus de branchement de Galton-Watson avec service Poisson, transition $z_{n+1}=\exp(\lambda p(z_n-1))$ et seuil critique $\lambda p=1$ . (Ex.) Équivalent de Stirling — démonstration complète de $\Gamma(n)\sim\sqrt{2\pi}\,n^{n-1/2}e^{-n}$ via comparaison série/intégrale et formule de Wallis-Gauss. (Pb. 2) Blocs de Jordan — irréductibilité de $J_\lambda$ et stabilité du système différentiel $X'=J_\lambda X$ via l'exponentielle de matrice.

Loi géométrique, fonction génératriceLoi de Pascal — somme de géométriques iidSuite récurrente $z_{n+1}=f(z_n)$, points fixes+11

5 parties · 42 questions4 heures

2024MPCCINPCorrigé

Mathématiques 2 — MP · 2024

Algèbre linéaire et matrices définies positives. Trois blocs : (Ex. 1) diagonalisation d'une matrice $3\times 3$ de spectre $\{1,-2\}$ et application à un système récurrent couplé ; (Ex. 2) permutations en Python — composition, inverse, test de sous-groupe, sous-groupe cyclique engendré ; (Pb.) caractérisation spectrale, critère trace+déterminant en dimension 2, et démonstration complète du critère de Sylvester par les mineurs principaux, avec applications (matrice paramétrée, forme quadratique, matrice tridiagonale).