Concours CPGE · Filières MP, MPI, PC, PSI

Concours X-ENS

Le sommet des concours CPGE. Polytechnique, ENS Ulm, ENS Paris-Saclay, ENS Lyon — les écoles d'élite accessibles depuis MP, MPI, PC et PSI.

167

annales

filières

14%

corrigés

Voir les 167 annales →🎤 Préparer les oraux 📅 Calendrier

🎯 Le concours en chiffres

Places, candidats, écoles

Volumes officiels rentrée 2026 — données SCEI / écoles. Ordres de grandeur stables.

551

Places ouvertes

9 500

Candidats / an

Taux d'admission

🏛️ Places par école

Total : 551 places

École PolytechniqueTier 1431 places

ENS Paris-SaclayTier 155 places

ENS LyonTier 140 places

ENS UlmTier 125 places

Tier 1 : top écoles · Tier 2 : très sélectives · Tier 3 : sélectives

🎯 Simulateur d'admissibilité

Suis-je admissible au concours X-ENS ?

Entrez vos notes par épreuve. Le simulateur calcule votre total de points et le compare aux barres officielles d'admissibilité des dernières années.

1. Votre filière — concours X-ENS

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Glisse pour voir l'école estimée selon ton rang au X-ENS (filière MP — ordres de grandeur 2024).

Ton rang

#167

École estimée

ENS Lyon

Barre 2024 ≈ #250

#1#375#750

Échelle 2024 par école

ENS Ulm

≈ #100

ENS Lyon

≈ #250

ENS Paris-Saclay

≈ #350

École Polytechnique

≈ #500

ⓘ Estimations indicatives basées sur les barres officielles 2024 (filière MP). Les barres réelles varient chaque année et selon la filière.

Le concours X-ENS

Le concours X-ENS regroupe les épreuves d'admission à l'École Polytechnique (X) et aux Écoles Normales Supérieures (ENS Ulm, ENS Paris-Saclay, ENS Lyon). C'est le concours le plus sélectif de France : 431 places à l'X session 2025 réparties sur MP-Info (86), MP-PSI (77), MPI (24), PC (131), PSI (56), PT (10) et BCPST (13) — source : arrêté du 6 septembre 2024 (Légifrance). Les épreuves (mathématiques, physique, informatique en MP/MPI, chimie en PC, SI en PSI, français, anglais, TIPE) exigent une maîtrise parfaite du programme à un niveau de profondeur sans équivalent. Les tuteurs Majorant issus de Polytechnique t'accompagnent de la révision des écrits aux oraux de l'X.

filière

MPI

filière

PSI

filière

🎯 4 écoles accessibles

1.École Polytechnique
2.ENS Ulm
3.ENS Paris-Saclay
4.ENS Lyon

🎤 Préparation oraux X-ENS

De admissible à admis — oraux blancs en conditions réelles

Khôlleurs alumni de Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris. 6 à 10 oraux blancs filière MP, feedback écrit détaillé, pack TP inclus. La même méthode qui a permis à nos élèves de décrocher X, CS et Mines.

Oraux X-ENS en conditions réelles
Feedback écrit après chaque session
Pack TP complet inclus
Khôlleurs alumni X · CS · Mines

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Premières sessions dès mi-mai

📚 Banque d'annales

167 annales X-ENS

Énoncés officiels en libre accès · Corrigés rédigés par des anciens de Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

Nouveau · 2026

Annales concours 2026 · 33

Les sujets de la session 2026 — Mines-Ponts, X, Centrale-Supélec et CCINP. Corrigés rédigés par nos mentors alumni des grandes écoles.

Voir tous (33)

2026PCX / ENS / ESPCICorrigé

Mathématiques 1 — PC · 2026

Sujet en trois parties centré sur les grandes déviations et la transition de phase du modèle de Curie-Weiss. Partie I : propriétés des fonctions convexes (encadrement des accroissements, convergence simple de convexes, dérivée d'une suite de Laplace). Partie II : modèle d'Ising 1D par matrices de transfert — calcul de la valeur propre dominante $\lambda(\beta,h)$ , limite de la fonction de partition $F_N$ , magnétisation limite. Partie III : modèle de Curie-Weiss — fonction de taux $I(x)$ , probabilité $P[S_N=u_N]$ via Stirling, minoration de $G_N$ , maximum unique de $\psi_{\beta,h}$ , équation auto-cohérente et exposant critique $1/3$ en $\beta=1/2$ .

Convexité — encadrement des accroissementsMatrices de transfertGrandes déviations — formule de Stirling+5

3 parties · 32 questions4 heures

2026PSIX / ENS / ESPCICorrigé

Mathématiques 1 — PSI · 2026

Sujet autour du théorème de Boulmezaoud-Cieutat-Daniilidis : deux fonctions convexes, minorées, de classe $C^2$ vérifiant $\|\nabla f\| = \|\nabla g\|$ partout diffèrent d'une constante. Partie I : propriétés des fonctions convexes (inégalité de convexité, monotonie du gradient, structure de $S(f)$ ). Partie II : démonstration dans le cas $n=1$ via $f'^2 - g'^2 = c$ constant (Q3) et convexité de $x \mapsto g'^2$ (Q4–5). Partie III : cas des fonctions quadratiques, surjectivité/injectivité de l'opérateur $T : f \mapsto \frac{1}{2}\|\nabla f\|^2$ . Partie IV : cas général via un flot de gradient $y' = -\nabla h(y)$ convergent exponentiellement vers $S(h)$ , inégalité de Hardy–Littlewood (Q14), et argument de transport le long du flot (Q16–17).

Fonctions convexes — inégalité du premier ordreOptimisation convexe — conditions nécessairesNorme du gradient — infimum+7

4 parties · 17 questions4 heures

2026MPX / ENS / ESPCICorrigé

Mathématiques A — MP · 2026

Sujet en quatre parties autour de la norme subordonnée et du calcul polynomial matriciel. Préliminaires (Q1–5) : propriétés fondamentales de $\|A\|$ (existence, diagonale, sous-multiplicativité, invariance unitaire, encadrement par $\mathrm{cond}(P)$ ). Partie A (Q6–10) : principe du maximum pour les polynômes — construction d'une matrice unitaire $U$ telle que $p(z) = e_1^*p(U)e_1$ , d'où $|p(z)| \leq \|p\|_{\partial\mathbb{D}}$ et généralisation $\|p\|_S = \|p\|_{\partial S}$ . Partie B (Q11–17) : inégalité de Von Neumann $\|p(A)\| \leq \|p\|_{\mathbb{D}}$ pour toute contraction $A$ , par construction d'une dilatation unitaire $U_k$ via les racines carrées hermitiennes $D_A$ et $D_{A^*}$ . Partie C (Q18–26) : Hausdorffien $\mathcal{H}(A)$ , rayon numérique $r(A)$ , inégalité $\frac{1}{2}\|A\| \leq r(A) \leq \|A\|$ , sous-multiplicativité $r(A^k) \leq r(A)^k$ via les racines de l'unité. Partie D (Q27–30) : conjecture de Crouzeix $\|p(A)\| \leq 2\|p\|_{\mathcal{H}(A)}$ , optimalité de la constante 2, cas des monômes et du théorème de Okubo-Ando.

Norme subordonnée — existence et propriétésConditionnement d'une matrice inversibleMatrices unitaires et hermitiennes — théorème spectral+9

4 parties · 30 questions4 heures

2026MPX / ENS / ESPCICorrigé

Mathématiques B — MP · 2026

Sujet en quatre parties autour de la mesure spectrale empirique. Préliminaire (Q1) : suite récurrente $u_n = \alpha u_{n-1} - u_{n-2}$ , quatre régimes selon $|\alpha|\gtrless 2$ . Partie I (Q2–4b) : la loi arc-sinus comme limite des suites de Riemann généralisées ; convergence en loi de $2\cos(\pi U_n/(n+1))$ . Partie II (Q5–9b) : matrice tridiagonale $T_n$ , polynôme caractéristique $\chi_n$ (polynômes de Chebyshev de 2e espèce), valeurs propres $2\cos(k\pi/(n+1))$ , spectre de $T_n(a,b,c)$ , loi de Marchenko–Pastur arc-sinus généralisée. Partie III (Q10–12) : démonstration constructive du théorème de Weierstrass via approximation de la fonction de Heaviside $H$ par des polynômes $P_n = Q_n((1-X)/2)$ . Partie IV (Q13–17b) : matrices de Wigner, moments de la loi semi-circulaire (nombres de Catalan), convergence en probabilité de la mesure spectrale empirique vers $\frac{\sqrt{4-x^2}}{2\pi}$ (théorème de Wigner).

Suites récurrentes linéaires d'ordre 2Loi arc-sinus — intégrale de ChebyshevSommes de Riemann généralisées+10

4 parties · 20 questions4 heures

2026MPX / ENS / ESPCICorrigé

Mathématiques C — MP · 2026

Sujet en quatre parties autour des inégalités variationnelles et de l'analyse convexe. Partie I : solutions fortes/faibles d'une inégalité variationnelle, opérateurs monotones, projection sur un convexe fermé ( $\Pi_C$ ) et ses propriétés lipschitziennes. Partie II : existence de solution via un algorithme extrapolé, inégalité minimax de von Neumann pour les jeux à somme nulle. Partie III : itérations de Krasnoselskii–Mann pour les applications 1-lipschitziennes, convergence vers un point fixe. Partie IV : théorème de Baillon–Haddad (co-coercivité du gradient d'une fonction convexe à gradient lipschitzien), convergence de la descente de gradient à pas constant.

Inégalités variationnellesOpérateurs monotonesProjection sur convexe fermé+6

4 parties · 22 questions4 heures

2026MPX / ENS / ESPCICorrigé

Mathématiques D — MP · 2026

Sujet en quatre parties autour des approximations probabilistes de lois de Poisson et des inégalités de concentration. Préliminaire : propriétés de la loi de Poisson $Z_\lambda$ (fonction génératrice, encadrements factoriels, inégalité de Markov exponentielle $\mathbb{P}(Z_\lambda\leq k)\leq e^{-\lambda}(e\lambda/k)^k$ ). Partie 1 — Opérateur de Chen–Stein $\mathscr{L}_\lambda$ : équation de Stein, bornes $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ pour l'approximation poissonienne de sommes de Bernoulli dépendantes. Partie 2 — Espérance conditionnelle et couples échangeables : méthode des moments exponentiels, inégalité $\mathbb{P}(|\phi(W)|\geq t)\leq 2e^{-t^2/(2C+2Bt)}$ . Partie 3 — Applications : inégalité de Bernstein–Efron–Stein pour sommes bornées, permutations aléatoires (points fixes), modèle de Curie–Weiss (magnétisation).

Loi de Poisson — fonction génératriceInégalité de Markov exponentielleOpérateur de Chen–Stein+9

4 parties · 27 questions6 heures

2026PSIX / ENSCorrigé

Modélisation — PSI · 2026

Vers un ciel plus propre : un turbopropulseur hybride pour l'aviation régionale. Étude d'un projet d'avion régional hybride (turbomachine + moteur électrique) pour réduire les émissions de CO $_2$ . Deux parties : (A) enjeux énergétiques — combustibles (kérosène vs H $_2$ ), modèle de Froude pour l'hélice ; (B) alimentation électrique — pile à combustible PEMFC, hybridation pile + batteries, dimensionnement masse pour 50 passagers.

parties · 90 questions6 heures

2026MPX / ENSCorrigé

Physique — MP · 2026

Étude des ondes mécaniques dans une plaque élastique. Trois parties : (I) compression unidimensionnelle — chaîne de masses, relation de dispersion, limite continue $c_0=\sqrt{E/\rho}$ ; (II) flexion d'une plaque mince — équation $D\Delta^2 w+\rho e\partial_t^2 w=0$ , dispersion quadratique ; (III) méthode optique de mesure par interférométrie de speckle.

parties · 45 questions4 heures

2026PCX / ENSCorrigé

Physique A — PC · 2026

Techniques modernes de spectrométrie de masse de molécules complexes. Deux parties : (I) ionisation par électronébuliseur ESI — formation de gouttelettes chargées, instabilité de Rayleigh, cône de Taylor ; (II) FT-ICR-MS — pulsation cyclotronique $\omega_c=qB/m$ , transformée de Fourier, résolution $R>10^6$ .

parties · 40 questions4 heures

2026PCX / ENSCorrigé

Physique B — PC · 2026

De la topologie dans les ondes : de la matière condensée à El Niño. Deux parties : (I) notions topologiques — modèle SSH, winding number, modes de bord protégés ; (II) ondes équatoriales — force de Coriolis, ondes de Kelvin et Rossby, charge topologique, application au phénomène ENSO (El Niño Southern Oscillation).

parties · 35 questions4 heures

2026PCX / ENSCorrigé

Physique C — PC · 2026

Phénomènes d'hystérésis en physique. Deux parties : (I) hystérésis granulaire — transition liquide-solide des milieux granulaires, modèle de Mohr-Coulomb, énergie dissipée par cycle ; (II) hystérésis magnétique — domaines de Weiss, parois de Bloch, cycle B(H), aimants durs vs doux.

parties · 50 questions6 heures

2026MPX / ENSCorrigé

Physique et Sciences de l'Ingénieur — MP · 2026

Sur les satellites d'étude du Soleil. Étude des missions SOHO et SMILE — communications spatiales (formule de Friis, antennes paraboliques, modulation BPSK/QPSK), bilan de liaison, théorème de Shannon, codes correcteurs. Application : télémétrie depuis L1.

parties · 32 questions4 heures

+21 sujets 2026Voir tous

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Année

Matière

167 sujets

🏆 X / ENS / ESPCI

Annales X / ENS / ESPCI · 167

Polytechnique, ENS Ulm, Lyon, Paris-Saclay et ESPCI — sujets de haut niveau, recul théorique, créativité.

2026PCX / ENS / ESPCICorrigé

📝 Méthodes & stratégie

Guides X-ENS

Rédigés par nos tuteurs alumni

Prépa

Pré-rentrée prépa PCSI 2026 : programme de l'été pour ne pas se faire décrocher — méthode Majorant

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WEI école d'ingénieur 2026 : guide complet — préparation, conseils et 7 erreurs à éviter

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Prépa

Khôlles d'anglais en prépa CPGE : format, sujets et méthode Majorant pour progresser

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Oraux

Oral de chimie PC concours 2026 : Mines-Ponts, Centrale, CCINP — méthode et préparation Majorant

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Concours

5/2 ou intégrer ? Décider après les concours CPGE 2026 — méthode Majorant

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Prépa

Thème TIPE 2027 « Sobriété, efficacité, optimisation » : décryptage, 30+ sujets MP/PC/PSI et conseils Majorant

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Prépare X-ENS avec un mentor

Cours particuliers avec des tuteurs alumni du concours X-ENS, stages intensifs et oraux blancs.

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❓ FAQ

Questions fréquentes — X-ENS

Qu'est-ce que le concours X-ENS ?

Le concours X-ENS désigne l'ensemble des épreuves communes permettant d'intégrer l'École Polytechnique (X) et les Écoles Normales Supérieures (ENS Ulm, ENS Paris-Saclay, ENS Lyon). Il est ouvert aux filières MP, MPI, PC, PSI (et BCPST, PT pour l'X). En 2025, l'X a recruté 431 places en filière française, dont 163 en MP, 131 en PC, 56 en PSI, 24 en MPI, 10 en PT et 13 en BCPST (source : Légifrance).

Quelles épreuves composent le concours X-ENS ?

Le concours X-ENS comprend : écrits (Mathématiques 1 et 2 ou Maths en PC, Physique 1 et 2, Chimie en PC, SI en PSI, Informatique en MP option info et MPI, Français-Philosophie, Anglais) et oraux (Mathématiques, Physique, Chimie ou Informatique ou SI selon filière, Anglais, TIPE). En filière MPI, s'ajoutent des épreuves spécifiques d'informatique théorique.

Comment préparer les oraux X-ENS avec Majorant ?

Majorant propose des oraux blancs X-ENS animés par des khôlleurs anciens élèves de Polytechnique. Les formules Tremplin (6 oraux blancs, 450 €) et Blindage (10 oraux blancs + coaching, 650 €) permettent de s'entraîner en conditions réelles pour les oraux de maths, physique et informatique de l'X.

Quel est le niveau requis pour intégrer Polytechnique ?

Pour intégrer Polytechnique (X), il faut généralement se classer dans les premiers du concours dans sa filière : ~150 premiers en MP (163 places), ~120 premiers en PC (131 places), ~50 premiers en PSI (56 places), ~20 en MPI (24 places). Les critères déterminants sont : l'excellence en mathématiques (Mathématiques 1 et 2 ou Maths en PC), un bon niveau en physique et chimie ou SI selon la filière, et une préparation rigoureuse aux oraux.

Quelle est la différence entre X et ENS pour le choix d'orientation ?

L'X (École Polytechnique) forme des ingénieurs de haut niveau avec une forte dimension scientifique et militaire. Les ENS (Ulm, Paris-Saclay, Lyon) forment des chercheurs et enseignants-chercheurs dans toutes les disciplines (sciences, lettres, sciences humaines). L'X mène principalement aux grandes entreprises et à la haute fonction publique, les ENS mènent à la recherche et à l'enseignement supérieur. Le choix dépend de ton projet professionnel.

Y a-t-il des annales X-ENS disponibles sur Majorant ?

Oui. Majorant met à disposition gratuitement 167 annales X-ENS pour les filières MP, MPI, PC et PSI (mathématiques, physique, chimie, informatique). Toutes les annales sont disponibles sur https://www.majorant.net/ressources-concours, filtrées par concours X ou ENS.