Corrigé X / ENS / ESPCI 2026 — Mathématiques D MP

À propos de ce sujet

Le sujet X / ENS / ESPCI 2026 Mathématiques D filière MP comporte 27 questions réparties en 4 parties pour une durée de 6 heures.

Sujet en quatre parties autour des approximations probabilistes de lois de Poisson et des inégalités de concentration. Préliminaire : propriétés de la loi de Poisson $Z_\lambda$ (fonction génératrice, encadrements factoriels, inégalité de Markov exponentielle $\mathbb{P}(Z_\lambda\leq k)\leq e^{-\lambda}(e\lambda/k)^k$). Partie 1 — Opérateur de Chen–Stein $\mathscr{L}_\lambda$ : équation de Stein, bornes $B_1$, $B_2$, $B_3$ pour l'approximation poissonienne de sommes de Bernoulli dépendantes. Partie 2 — Espérance conditionnelle et couples échangeables : méthode des moments exponentiels, inégalité $\mathbb{P}(|\phi(W)|\geq t)\leq 2e^{-t^2/(2C+2Bt)}$. Partie 3 — Applications : inégalité de Bernstein–Efron–Stein pour sommes bornées, permutations aléatoires (points fixes), modèle de Curie–Weiss (magnétisation).

Thèmes abordés

Ce sujet de mathématiques d couvre les notions suivantes : Loi de Poisson — fonction génératrice, Inégalité de Markov exponentielle, Opérateur de Chen–Stein, Approximation poissonienne — méthode de Stein, Espérance conditionnelle discrète, Couples échangeables, Méthode des moments exponentiels, Inégalité de Bernstein, Inégalité d'Efron–Stein, Permutations aléatoires — points fixes, Modèle de Curie–Weiss — magnétisation, Inégalités de concentration.

Corrigé rédigé par Majorant

La proposition de corrigé disponible sur cette page a été rédigée par les mentors Majorant — anciens élèves de Mines Paris, Polytechnique et CentraleSupélec. Chaque question est accompagnée d'une aide pédagogique « Comment avoir l'idée » et d'une démonstration rigoureuse conforme au programme officiel de la filière MP.