X / ENS / ESPCI2026Filière MPMathématiques A

Corrigé X / ENS / ESPCI 2026 — Mathématiques A MP

Sujet en quatre parties autour de la norme subordonnée et du calcul polynomial matriciel. Préliminaires (Q1–5) : propriétés fondamentales de $\|A\|$ (existence, diagonale, sous-multiplicativité, invariance unitaire, encadrement par $\mathrm{cond}(P)$ ). Partie A (Q6–10) : principe du maximum pour les polynômes — construction d'une matrice unitaire $U$ telle que $p(z) = e_1^*p(U)e_1$ , d'où $|p(z)| \leq \|p\|_{\partial\mathbb{D}}$ et généralisation $\|p\|_S = \|p\|_{\partial S}$ . Partie B (Q11–17) : inégalité de Von Neumann $\|p(A)\| \leq \|p\|_{\mathbb{D}}$ pour toute contraction $A$ , par construction d'une dilatation unitaire $U_k$ via les racines carrées hermitiennes $D_A$ et $D_{A^*}$ . Partie C (Q18–26) : Hausdorffien $\mathcal{H}(A)$ , rayon numérique $r(A)$ , inégalité $\frac{1}{2}\|A\| \leq r(A) \leq \|A\|$ , sous-multiplicativité $r(A^k) \leq r(A)^k$ via les racines de l'unité. Partie D (Q27–30) : conjecture de Crouzeix $\|p(A)\| \leq 2\|p\|_{\mathcal{H}(A)}$ , optimalité de la constante 2, cas des monômes et du théorème de Okubo-Ando.

En bref

Le sujet X / ENS / ESPCI 2026 — Mathématiques A filière MP est une épreuve de 4 heures composée de 30 questions réparties en 4 parties, centrée sur Norme subordonnée — existence et propriétés, Conditionnement d'une matrice inversible, Matrices unitaires et hermitiennes — théorème spectral. Difficulté : Très élevée. Corrigé détaillé gratuit, rédigé par d'anciens élèves de Polytechnique, Mines Paris et CentraleSupélec, avec aide pédagogique « Comment avoir l'idée » pour chaque question.

Norme subordonnée — existence et propriétésConditionnement d'une matrice inversibleMatrices unitaires et hermitiennes — théorème spectralCalcul polynomial matriciel — $p(A)$Principe du maximum pour les polynômesInégalité de Von NeumannDilatation unitaire — matrices $D_A$ et $D_{A^*}$Hausdorffien (domaine numérique) $\mathcal{H}(A)$Rayon numérique $r(A)$ — norme et propriétésRacines $k$-ièmes de l'unité — identités polynomialesConjecture de Crouzeix $\|p(A)\| \leq 2\|p\|_{\mathcal{H}(A)}$Théorème de Okubo-Ando (admis)

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À propos de ce sujet

Le sujet X / ENS / ESPCI 2026 Mathématiques A filière MP comporte 30 questions réparties en 4 parties pour une durée de 4 heures.

Sujet en quatre parties autour de la norme subordonnée et du calcul polynomial matriciel. Préliminaires (Q1–5) : propriétés fondamentales de $\|A\|$ (existence, diagonale, sous-multiplicativité, invariance unitaire, encadrement par $\mathrm{cond}(P)$ ). Partie A (Q6–10) : principe du maximum pour les polynômes — construction d'une matrice unitaire $U$ telle que $p(z) = e_1^*p(U)e_1$ , d'où $|p(z)| \leq \|p\|_{\partial\mathbb{D}}$ et généralisation $\|p\|_S = \|p\|_{\partial S}$ . Partie B (Q11–17) : inégalité de Von Neumann $\|p(A)\| \leq \|p\|_{\mathbb{D}}$ pour toute contraction $A$ , par construction d'une dilatation unitaire $U_k$ via les racines carrées hermitiennes $D_A$ et $D_{A^*}$ . Partie C (Q18–26) : Hausdorffien $\mathcal{H}(A)$ , rayon numérique $r(A)$ , inégalité $\frac{1}{2}\|A\| \leq r(A) \leq \|A\|$ , sous-multiplicativité $r(A^k) \leq r(A)^k$ via les racines de l'unité. Partie D (Q27–30) : conjecture de Crouzeix $\|p(A)\| \leq 2\|p\|_{\mathcal{H}(A)}$ , optimalité de la constante 2, cas des monômes et du théorème de Okubo-Ando.

Thèmes abordés

Ce sujet de mathématiques a couvre les notions suivantes : Norme subordonnée — existence et propriétés, Conditionnement d'une matrice inversible, Matrices unitaires et hermitiennes — théorème spectral, Calcul polynomial matriciel — $p(A)$, Principe du maximum pour les polynômes, Inégalité de Von Neumann, Dilatation unitaire — matrices $D_A$ et $D_{A^*}$, Hausdorffien (domaine numérique) $\mathcal{H}(A)$, Rayon numérique $r(A)$ — norme et propriétés, Racines $k$-ièmes de l'unité — identités polynomiales, Conjecture de Crouzeix $\|p(A)\| \leq 2\|p\|_{\mathcal{H}(A)}$, Théorème de Okubo-Ando (admis).

Corrigé rédigé par Majorant

La proposition de corrigé disponible sur cette page a été rédigée par les mentors Majorant — anciens élèves de Mines Paris, Polytechnique et CentraleSupélec. Chaque question est accompagnée d'une aide pédagogique « Comment avoir l'idée » et d'une démonstration rigoureuse conforme au programme officiel de la filière MP.

Questions fréquentes sur ce sujet

Quels chapitres réviser pour le sujet X / ENS / ESPCI Mathématiques A MP 2026 ?+

Le sujet X / ENS / ESPCI 2026 Mathématiques A en filière MP mobilise principalement : Norme subordonnée — existence et propriétés, Conditionnement d'une matrice inversible, Matrices unitaires et hermitiennes — théorème spectral, Calcul polynomial matriciel — $p(A)$, Principe du maximum pour les polynômes, Inégalité de Von Neumann, Dilatation unitaire — matrices $D_A$ et $D_{A^*}$, Hausdorffien (domaine numérique) $\mathcal{H}(A)$, Rayon numérique $r(A)$ — norme et propriétés, Racines $k$-ièmes de l'unité — identités polynomiales, Conjecture de Crouzeix $\|p(A)\| \leq 2\|p\|_{\mathcal{H}(A)}$, Théorème de Okubo-Ando (admis). Ces chapitres font partie du programme officiel CPGE 2e année MP. Pour le réviser efficacement, travaille d'abord les exercices types du cours puis enchaîne avec ce sujet d'annale en conditions réelles.

Quelle est la difficulté du sujet X / ENS / ESPCI Mathématiques A MP 2026 ?+

Très élevée — concours d'élite (École Polytechnique, ENS), top 3 % des candidats CPGE. Ce sujet de Mathématiques A comporte 30 questions en 4 parties sur 4 heures, soit environ 8 minutes par question en moyenne. La progressivité (parties indépendantes ou enchaînées) est précisée dans le corrigé Majorant.

Combien de temps faut-il pour traiter le sujet X / ENS / ESPCI Mathématiques A MP 2026 ?+

La durée officielle de l'épreuve Mathématiques A au concours X / ENS / ESPCI est de 4 heures. Avec 30 questions réparties en 4 parties, vise un rythme moyen de 8 minutes par question en conditions de concours. Pour un premier passage en autonomie, prévois 1,5× le temps officiel afin de bien comprendre les enjeux de chaque question.

Qui a rédigé le corrigé du sujet X / ENS / ESPCI Mathématiques A MP 2026 ?+

Le corrigé Majorant a été rédigé par les mentors de l'équipe pédagogique : Tom L. (École Polytechnique), Ethan H. (Mines Paris — PSL) et Camille L. (CentraleSupélec). Chaque question est accompagnée d'une aide pédagogique « Comment avoir l'idée » et d'une démonstration rigoureuse conforme au programme officiel de la filière MP. Accès gratuit sur https://www.majorant.net/ressources-concours/mp/x/2026-maths-a.