Corrigé X / ENS / ESPCI 2026 — Mathématiques 1 PSI

À propos de ce sujet

Le sujet X / ENS / ESPCI 2026 Mathématiques 1 filière PSI comporte 17 questions réparties en 4 parties pour une durée de 4 heures.

Sujet autour du théorème de Boulmezaoud-Cieutat-Daniilidis : deux fonctions convexes, minorées, de classe $C^2$ vérifiant $\|\nabla f\| = \|\nabla g\|$ partout diffèrent d'une constante. Partie I : propriétés des fonctions convexes (inégalité de convexité, monotonie du gradient, structure de $S(f)$). Partie II : démonstration dans le cas $n=1$ via $f'^2 - g'^2 = c$ constant (Q3) et convexité de $x \mapsto g'^2$ (Q4–5). Partie III : cas des fonctions quadratiques, surjectivité/injectivité de l'opérateur $T : f \mapsto \frac{1}{2}\|\nabla f\|^2$. Partie IV : cas général via un flot de gradient $y' = -\nabla h(y)$ convergent exponentiellement vers $S(h)$, inégalité de Hardy–Littlewood (Q14), et argument de transport le long du flot (Q16–17).

Thèmes abordés

Ce sujet de mathématiques 1 couvre les notions suivantes : Fonctions convexes — inégalité du premier ordre, Optimisation convexe — conditions nécessaires, Norme du gradient — infimum, Fonctions quadratiques symétriques positives, Algèbre linéaire — matrices symétriques, Racine carrée d'une matrice symétrique positive, Équations différentielles linéaires (Cauchy-Lipschitz), Flot de gradient — convergence exponentielle, Inégalité de Hardy (intégrale de $\|z\|^2$), Inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale.

Corrigé rédigé par Majorant

La proposition de corrigé disponible sur cette page a été rédigée par les mentors Majorant — anciens élèves de Mines Paris, Polytechnique et CentraleSupélec. Chaque question est accompagnée d'une aide pédagogique « Comment avoir l'idée » et d'une démonstration rigoureuse conforme au programme officiel de la filière PSI.