Corrigé Mines-Ponts 2024 — Mathématiques 1 MP

À propos de ce sujet

Le sujet Mines-Ponts 2024 Mathématiques 1 filière MP comporte 25 questions réparties en 4 parties pour une durée de 3 heures.

« Généralisation d'une intégrale de Dirichlet et application probabiliste ». Quatre parties : (I) calcul de $\int_0^\infty t^{x-1}/(1+t)\,dt=\pi/\sin(\pi x)$ via une fonction analytique $g(\theta)=e^{ix\theta}\int_0^\infty t^{x-1}/(1+te^{i\theta})\,dt$ démontrée constante par dérivation sous l'intégrale (Leibniz) puis évaluation à $\theta\to\pi^-$ par convergence dominée ; (II) développement en série partielle $\pi/\sin(\pi x)=1/x-\sum 2(-1)^n x/(n^2-x^2)$ et identité-clé $\sum 2(-1)^n y\sin y/(y^2-n^2\pi^2)=1-\sin y/y$ ; (III) calcul de $\int_0^\infty(1-\cos^{2p+1}t)/t^2\,dt=\pi(2p+1)!/(2\cdot 4^p(p!)^2)$ par double intégration alternée et formule de Wallis ; (IV) application probabiliste — pour $S_n=\sum X_k$ avec $X_k$ Rademacher i.i.d., $E(|S_{2n}|)=E(|S_{2n-1}|)=(2n-1)!/(2^{2n-2}((n-1)!)^2)$.

Thèmes abordés

Ce sujet de mathématiques 1 couvre les notions suivantes : Intégrale paramétrique — théorème de Leibniz, Théorème de convergence dominée, Formule des compléments d'Euler — fonction Bêta, Développement en série partielle de $\pi/\sin(\pi x)$, Formule de Wallis, Linéarisation de $\cos^{2p}t$ par formule d'Euler, Intégrale de Dirichlet généralisée, Variables aléatoires de Rademacher, Fonction caractéristique, Marche aléatoire symétrique, Espérance de la valeur absolue $E(|S_n|)$.

Corrigé rédigé par Majorant

La proposition de corrigé disponible sur cette page a été rédigée par les mentors Majorant — anciens élèves de Mines Paris, Polytechnique et CentraleSupélec. Chaque question est accompagnée d'une aide pédagogique « Comment avoir l'idée » et d'une démonstration rigoureuse conforme au programme officiel de la filière MP.